Решение логарифмических неравенств

29

Логарифмическое неравенство – это неравенство, в котором неизвестная величина находится под знаком логарифма.

Формулы логарифмических неравенств

1. Значение логарифма больше нуля (loga x > 0) при условии, что и основание, и подлогарифмическое выражение находятся по одному сторону от числа 1. Здесь могут быть два варианта:

  • a>1 и x>1
  • 0<a<1 и 0<x<1

Соответственно, если a и x стоят по разные стороны от единицы, значение логарифма logax отрицательно.

2. Для логарифмического неравенства loga f(x) > b справедливо:

  • f(x) < ab при 0<a<1
  • f(x) > ab при a>1

Аналогичным образом, для logaf(x) < b верно:

  • f(x) > ab при 0<a<1
  • f(x) < ab при a>1

3. Неравенство вида loga f(x) > loga g(x) сводится к:

  • 0 < f(x) < g(x) при 0<a<1
  • f(x) > g(x) > 0 при a>1

Подобным образом, для loga f(x) < loga g(x) можно утверждать:

  • f (x) > g(x) > 0 при 0<a<1
  • 0 < f(x) < g(x) при a>1

Примеры заданий

Задача 1
Решите неравенство log0,7(x-3) > 3.

Решение:
Основание логарифма больше нуля, но меньше единицы (0<0,7<1). Применив соответствующую формулу (f(x) < ab при 0<a<1), получаем:
(x-3) < 0,73
(x-3) < 0,343
x<3,343

Одновременно с этим подлогарифмическое выражение любого логарифма должно быть больше нуля. Следовательно, (x-3) > 0, а значит, x>3.

Таким образом, совместив оба условия определяем x∈(3;3,343).

Задача 2
Решите неравенство log28 < log2x.

Решение:
Т.к. основание логарифма больше единицы, для заданного неравенства верно: 0<8<x. То есть x∈(8;∞).

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя