Разность квадратов: формула и примеры

1043

В данной публикации мы рассмотрим формулу сокращенного умножения, с помощью которой можно разложить разность квадратов на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула разности квадратов

Разность квадратов чисел/выражений a и b равна произведению их суммы на разность.

a2 – b2 = (a – b)(a + b)

Формулу можно представить справа-налево:

(a – b)(a + b) = a2 – b2

Примечание: a2 – b2 ≠ (a – b)2

Доказательство формулы

Арифметическое

Давайте проверим формулу от обратного, т.е. перемножим (a-b) и (a+b).

Раскрыв скобки с учетом правил арифметики получаем исходную формулу:
(a-b)(a+b) = a2 + ab – ba – b2 = a2 – b2.

Геометрическое

Изобразим квадрат с длиной стороны a, площадь которого равна a2. В нем расположен квадрат поменьше со стороной b и площадью b2.

Геометрическое доказательство разности квадратов

Задача состоит в том, чтобы найти площадь фигуры голубого цвета (a2 – b2).

Продолжив любую из линий сторон меньшего квадрата до границ большего мы получим:

  • квадрат площадью b2;
  • прямоугольник со сторонами a и (a-b);
  • прямоугольник со сторонами b и (a-b).

Разность квадратов: формула и примеры

Нам нужна только сумма площадей прямоугольников, которая вычисляется таким образом:

S = a ⋅ (a – b) + b ⋅ (a – b) = a2 – ab + ba – b2 = a2 – b2

Примеры задач

Задание 1
Раскройте скобки: (8x – 3y)(8x + 3y).

Решение
Применим формулу сокращенного умножения:
(8x – 3y)(8x + 3y) = 64x2 – 9y2

Задание 2
Разложите на множители выражение: 25x2 – y2.

Решение
Воспользуемся формулой в обратную сторону:
25x2 – y2 = (5x – y)(5x + y)

Проверка
(5x – y)(5x + y) = 25x2 + 5xy – 5xy – y2 = 25x2 – y2

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии