Квадрат суммы: формула и примеры

51

В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения, а именно, квадрат суммы. Также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Формула квадрата суммы

Квадрат суммы слагаемых a и b равняется квадрату a плюс удвоенное произведение a и b плюс квадрат b.

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Выражение может быть представлено и в обратном порядке:

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2

Доказательство формулы

Арифметическое

Представим формулу в виде произведения двух одинаковых скобок (другими словами, умножим выражение на само себя):
(a+b)(a+b).

Теперь раскроем скобки согласно арифметическим правилам и получаем:
(a+b)(a+b) = a2 + ab + ba + b2 = a2 + 2ab + b2.

Геометрическое

Для того, чтобы доказать формулу геометрически, изобразим квадрат, который поделен с помощью двух отрезков на четыре части таким образом, что получились:

  • два квадрата с разной длиной стороны (a или b);
  • 2 прямоугольника с одинаковой длиной (a) и шириной (b).

Геометрическое доказательство суммы квадратов

Площадь большого квадрата равна (a + b)2 и, одновременно, сумме площадей фигур, из которых состоит:

Sкв. = (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2.

Примеры задач

Задание
Чему равен квадрат суммы (2x + 4y3)2?

Решение
Воспользуемся формулой сокращенного умножения:
(2x + 4y3)2 = (2x)2 + 2 ⋅ 2x ⋅ 4y3 + (4y3)2 = 4x2 + 16xy3 + 16y6

Примечание:
Формулу можно использовать для быстрых расчетов в уме, например:

  • 632 = (60 + 3)2 = 602 + 2 ⋅ 60 ⋅ 3 + 32 = 3600 + 360 + 9 = 3969.
  • 942 = (90 + 4)2 = 902 + 2 ⋅ 90 ⋅ 4 + 42 = 8100 + 720 + 16 = 8836.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя