Что такое комплексно сопряженные числа

В данной публикации мы рассмотрим, что такое комплексно сопряженные числа, а также перечислим их основные свойства. Представленная теоретическая информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

Определение комплексно сопряженных чисел

Дано комплексное число z = a + bi. Комплексно сопряженным к нему является число z = a – bi (для обозначения используется черточка сверху).

Таким образом, у комплексно сопряженных чисел действительные части одинаковые, а мнимые отличаются по знаку.

Пример:
Для числа z = 3 + 2i комплексно сопряженным является z = 3 – 2i.

Геометрическая интерпретация

Если перенести комплексно сопряженные числа на комплексную плоскость, то они будут зеркальным отражением друг друга относительно действительной оси (RE).

Свойства комплексно сопряженных чисел

1. Если z = z, значит число z является действительным.

Пример:
z = 2, значит z ∈ R, следовательно z = 2, т.е. z = z.

2. Модули комплексно сопряженных чисел равны, т.е. |z| = |z|. А так как такие числа на комплексной плоскости зеркальны, то их аргументы отличаются по знаку.

3. Сумма комплексно сопряженных чисел – это действительное число: z + z = 2 RE z.

Пример:
z = 5 + 2i
z = 5 – 2i
z + z = 5 + 2i + 5 – 2i = 5 + 5 = 10, а 10 ∈ R.

4. Произведение комплексно сопряженных чисел равняется квадрату их модуля и является действительным числом: z ⋅ z = |z|² ∈ R.

Пример:
z = 6 – 4i
z = 6 + 4i
z ⋅ z = (6 – 4i)(6 + 4i) = 36 + 24i – 24i – 16i² = 36 – 16 ⋅ (-1) = 52, а 52 ∈ R.

Модуль считается так:

5. Для z = a + bi и z = a – bi справедливо:

6. Для произвольных комплексных чисел z₁ и z₂:

Сложение и вычитание
Умножение
Деление