Что такое квадратный трехчлен: определение, формула, график, примеры

350

В данной публикации мы рассмотрим, что такое квадратный трехчлен, а также приведем его формулу и разберем алгоритм построения графика (параболы). Представленная информация сопровождается практическими примерами для лучшего восприятия.

Определение и формула квадратного трехчлена

Квадратный трехчлен – это многочлен вида ax2 + bx + c, где:

  • x – переменная;
  • ab и c – постоянные коэффициенты (старший, средний и свободный, соответственно);
  • a ≠ 0.

Примеры:

  • x2 + 7x + 3
  • 2x2 – 9x + 6
  • -5x2 + 11x + 2

График квадратного трехчлена

Функция квадратного трехчлена называется квадратичной, а ее графиком является парабола. Для того, чтобы ее построить, нужно решить квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0, которое получается путем добавления знака “равно” и нуля в конце выражения. Мы подробно рассмотрели нахождение корней уравнения в отдельной публикации.

График имеет вершину:

  • максимум при a < 0;
  • минимум при a > 0.

Чтобы было понятнее, разберем алгоритм построения параболы на практических примерах.

Пример 1

Построим график квадратного трехчлена x2 + 4x + 3.

Решение

Корнями уравнения x2 + 4x + 3 = 0 являются -3 и -1. Т.е. y принимает нулевые значения при x, равном двум этим числам. Другими словами, график пересекает ось абсцисс (Ox) в точках (-3, 0) и (-1, 0).

Вершина параболы считается по формуле -b/2a. Так как коэффициент a – положительное число, следовательно, это будет ее минимум.
Мин. = -4/(2 ⋅ 1) = -2

Полученное число – это значениеx, теперь подставляем его в нашу формулу и находим y:
y = (-2)2 + 4 ⋅ (-2) + 3 = -1

Таким образом, вершина имеет координаты (-2, -1).

Остается только найти, в какой точке график пересекает ось ординат (0y). Для этого в формулу трехчлена вместо x подставляем число 0:
y = (-0)2 – 4 ⋅ 0 + 3 = 3

Следовательно, это точка с координатами (0, 3).

Теперь у нас есть все необходимые данные, чтобы построить график.

Пример параболы

Примечание: Обратите внимание, что парабола – это симметричный график, т.е. если провести вертикальную линию через ее вершину, то правая часть будет зеркальным отражением левой (и наоборот).

Симметричность параболы

Пример 2

Построим параболу трехчлена 3x2 – 6x + 3.

Решение

Уравнение 3x2 – 6x + 3 = 0 имеет всего один корень (x = 1). Следовательно, график не пересекает, а касается оси абсцисс в точке (1, 0), которая одновременно является минимумом параболы (т.к. коэффициент a – положительный). Проверяем:
Мин. = 6/(2 ⋅ 3) = 1 (это значение x)
y = 3 ⋅ (1)2 – 6 ⋅ 1 + 3 = 0

Теперь находим, в какой точке график пересекает ось Oy, подставив в формулу вместо x число 0:
y = 3 ⋅ (0)2 – 6 ⋅ 0 + 3 = 3

Значит, точка пересечения с осью ординат – (0, 3).

Строим параболу с учетом найденных точек:

Пример параболы

Пример 3

А так выглядит график квадратичной функции y = -2x2 + 5x -2:

Пример параболы

  • Точки пересечения с осью Ox: (0.5, 0) и (2, 0).
  • Так как a – отрицательное число, то максимум достигается в точке (1.25, 1.125).
  • Пересечение с осью Oy – в точке (0, -2).
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии