Деление комплексных чисел

185

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти частное двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Деление в алгебраической форме

Результатом деления (т.е. частное) двух комплексных чисел x = a1 + b1i и y = a2 + b2i также является комплексное число z:

Формула деления двух комплексных чисел в алгебраической форме

Порядок действий следующий:

  1. Делимое и делитель умножаем на число, комплексно сопряженное делителю. Не забываем, что i2 = -1.
    Деление комплексных чисел
    Примечание: Для (a + bi) комплексно сопряженным будет число (a – bi), т.е. действительная часть остается той же, а у мнимой знак меняется на противоположный.
  2. В результате выполнения умножения в знаменателе получается обычное действительное число.
    (a2 + b2i)(a2 – b2i) = a2 ⋅ a2 – a2 ⋅ b2i + b2i ⋅ a2 – b2i ⋅ b2i = a22 – b22 ⋅ i2 = a22 + b22.
  3. Теперь выполним аналогичное действие в числителе:
    (a1 + b1i)(a2 – b2i) = a1 ⋅ a2 – a1 ⋅ b2i + b1i ⋅ a2 – b1i ⋅ b2i = a1a2 – b1b2i2 – a1b2i + b1a2i = (a1a2 + b1b2) + (a2b1 – a1b2) ⋅ i.
  4. Делим полученный числитель на знаменатель:
    Деление комплексных чисел

Пример 1:
Разделим комплексное число (3 – i) на (-5 + 2i).

Решение:
Руководствуемся планом действий, описанным выше, и получаем:

Деление комплексных чисел

Деление в геометрической форме

Если комплексные числа заданы в тригонометрической форме, например, x = |x| ⋅ (cos φ1 + i ⋅ sin φ1) и y = |y| ⋅ (cos φ2 + i ⋅ sin φ2), то разделить их можно по формуле ниже:

Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме

Пример 2
Найдем частное комплексных чисел: x = 4 ⋅ (cos 60° + i ⋅ sin 60°) и y = 2 ⋅ (cos 25° + i ⋅ sin 25°).

Решение:
|x| : |y| = 4 : 2 = 2
φ1 – φ2 = 60° – 25° = 35°
x : y = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°)

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии