Умножение комплексных чисел

117

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти произведение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Умножение в алгебраической форме

Произведением двух комплексных чисел x = a1 + b1i и y = a2 + b2i также является комплексное число z:

z = x ⋅ y = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + b1a2) ⋅ i

Формула получается путем перемножения двучленов (a1 + b1i)(a2 + b2i). При этом не забываем, что i2 = -1.

Пример 1
Найдем произведением комплексных чисел: x = 3 + 7i и y = 2 – i.

Решение:
x ⋅ y = (3 + 7i)(2 – i) = 3 ⋅ 2 – 3 ⋅ i + 7i ⋅ 2 – 7i ⋅ i = 6 – 3i + 14i – 7i2 = 6 + 11i – 7 ⋅ (-1) = 13 + 11i.

Произведение в тригонометрической форме

Комплексные числа могут быть заданы в тригонометрической форме, например x = |x| ⋅ (cos φ1 + i ⋅ sin φ1) и y = |y| ⋅ (cos φ2 + i ⋅ sin φ2).

В этом случае формула произведения выглядит следующим образом:

x ⋅ y = |x| ⋅ |y| ⋅ [cos1 + φ2) + i ⋅ sin1 + φ2)]

Пример 2
Выполним умножение двух комплексных чисел: x = 2 ⋅ (cos 15° + i ⋅ sin 15°) и y = 5 ⋅ (cos 30° + i ⋅ sin 30°).

Решение:
|x| ⋅ |y| = 2 ⋅ 5 = 10
φ1 + φ2 = 15° + 30° = 45°
x ⋅ y = 10 ⋅ (cos 45° + i ⋅ sin 45°)

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии