Показательная функция: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим определение и формулу показательной функции, перечислим ее основные свойства, а также продемонстрируем, как выглядит ее график и приведем пример его построения.

Определение показательной функции

Показательная функция – это функция вида f (x) = a ^x, где:

• a – основание степени, при этом a > 0 и a ≠ 1;
• x – показатель степени.

Примеры:

• y = 5 ^x
• y = 0,7 ^x
• y = 11 ^x

Свойства показательной функции

1. Область определения – все действительные числа: – ∞ < x + ∞.
2. Область значений – все положительные действительные числа: 0 < y + ∞.
3. Функция возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1.
4. Для показательной функции применимы правила операций с показателями.
5. Производная:
   • (a ^x)‘ = a ^x ln a
   • если вместо x более сложное выражение u: (a ^u)‘ = a ^u ln a ⋅ u ‘
6. Интеграл:
   

График показательной функции

Согласно Свойству 3, представленному выше, график показательной функции может быть:

• возрастающим при a > 1:
• убывающим при 0 < a < 1:

Асимптота – ось Ox, т.е. линия графика будет стремиться к оси абсцисс, но никогда не коснется ее.

Пример: построим график функции y = 3 ^x.

Решение:

Для начала составим таблицу соответствия значений x и y.

Теперь на координатной панели соединяем полученные точки плавной линией. Так как a = 3 > 1, значит график монотонно растет на протяжении всей оси Ox.