Экспонента: определение, формула, свойства, график

1383

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

f (x) = exp(x) = e x

где eчисло Эйлера.

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Экспонента через предел

Через степенной ряд Тейлора:

Экспонента через степенной ряд Тейлора

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции y = e x.

График экспоненты

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y.

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox, но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке (0, 1), так как e0 = 1.

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.

Свойства экспоненциальной функции

  1. Экспонента определена для всех x, причем функция везде возрастает, и ее значение всегда больше нуля. То есть:
    • область определения: – ∞ < x + ∞;
    • область значений: 0 < y < + ∞.
  2. Обратная к экспоненте функция – это натуральный логарифм (ln x).
    • ln e x = x;
    • e ln x = x, где x > 0.
  3. Для экспоненты применимы правила операций с показателями, например: e (a + b) = e a ⋅ e b.
  4. Производная экспоненты:
    • (e x) = e x.
    • если вместо x – сложная функция u: (e u) = e u + u.
  5. Интеграл экспоненты: ∫ e x dx = e x + C, где C – константа интегрирования.
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии