Линейно зависимые и независимые строки: определение, примеры

33

В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейная комбинация строк, линейно зависимые и независимые строки. Также приведем примеры для лучшего понимания теоретического материала.

Определение линейной комбинации строк

Линейной комбинацией (ЛК) строк s1, s2, …, sn матрицы A называется выражение следующего вида:

αs1 + αs2 + … + αsn

Если все коэффициенты αi равны нулю, значит ЛК является тривиальной. Другими словами, тривиальная линейная комбинация равняется нулевой строке.

Например: 0 · s1 + 0 · s2 + 0 · s3

Соответственно, если хотя бы один из коэффициентов αi не равен нулю, то ЛК является нетривиальной.

Например: 0 · s1 + 2 · s2 + 0 · s3

Линейно зависимые и независимые строки

Система строк является линейно зависимой (ЛЗ), если есть их нетривиальная линейная комбинация, которая равна нулевой строке.

Отсюда следует, что нетривиальная ЛК в некоторых случаях может равняться нулевой строке.

Система строк является линейно независимой (ЛНЗ), если только тривиальная ЛК равняется нулевой строке.

Примечания:

  • В квадратной матрице система строк является ЛЗ только в том случае, если определитель этой матрицы равняется нулю (det = 0).
  • В квадратной матрице система строк является ЛНЗ только в том случае, если определитель этой матрицы не равен нулю (det ≠ 0).

Пример задачи

Давайте выясним, является ли система строк {s1 = {3 4};s2 = {9 12}} линейно зависимой.

Решение:

1. Для начала составим ЛК.

α1{3 4} + α2{9 12}.

2. Теперь выясним, какие значения должны принимать α1 и α2, чтобы линейная комбинация равнялась нулевой строке.

α1{3 4} + α2{9 12} = {0 0}.

3. Составим систему уравнений:

Система линейных уравнений

4. Первой уравнение разделим на три, второе – на четыре:

Система линейных уравнений

5. Решением данной системы являются любые α1 и α2, при этом α1 = -3α2.
Например, если α2 = 2, то α1 = -6. Подставляем эти значения в систему уравнений выше и получаем:

Проверка системы линейных уравнений

Ответ: таким образом, строки s1 и s2 линейно зависимы.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии