Возведение комплексного числа в натуральную степень

220

В данной публикации мы рассмотрим, как комплексное число можно возвести в степень (в т.ч. с помощью формулы Муавра). Теоретический материал сопровождается примерами для лучшего понимания.

Возводим комплексное число в степень

Для начала вспомним, что комплексное число имеет общий вид: z = a + bi (алгебраическая форма).

Теперь можем переходить, непосредственно, к решению поставленной задачи.

Квадрат числа

Мы можем представить степень в виде произведения одинаковых множителей, а затем найти их произведение (при этом помним, что i2 = -1).

z2 = (a + bi)2 = (a + bi)(a + bi)

Пример 1:
z = 3 + 5i
z2 = (3 + 5i)2 = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i2 = -16 + 30i

Также можно воспользоваться формулой сокращенного умножения, а именно квадратом суммы:

z2 = (a + bi)2 = a2 + 2 ⋅ a ⋅ bi + (bi)2 = a2 + 2abi – b2

Примечание: Таким же образом, если потребуется, можно получить формулы для квадрата разности, куба суммы/разности и т.д.

N-ая степень

Возвести комплексное число z в натуральную степень n гораздо проще, если оно представлено в тригонометрической форме.

Напомним, в общем виде запись числа выглядит так: z = |z| ⋅ (cos φ + i ⋅ sin φ).

Для возведения в степень можно воспользоваться формулой Муавра (так названа в честь английского математика Абрахама де Муавра):

zn = |z|n ⋅ (cos (nφ) + i ⋅ sin (nφ))

Формула получена путем перемножения комплексных чисел, записанных в тригонометрической форме (перемножаются модули, а аргументы складываются).

Пример 2
Возведем комплексное число z = 2 ⋅ (cos 35° + i ⋅ sin 35°) в восьмую степень.

Решение
z8 = 28 ⋅ (cos (8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin (8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (cos 280° + i sin 280°).

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии