Гипербола: определение, функция, формула, примеры построения

1999

В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.

Определение и функция гиперболы

Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:

Функция обратной пропорциональности

Здесь:

  • x – независимая переменная;
  • k ≠ 0;
  • при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
  • при k < 0 график находится во II и IV четвертях.

На рисунке ниже изображен пример гиперболы.

Пример гиперболы

  • Линии графика (зеленым цветом) называются его ветвями.
  • Оси абсцисс и ординат (Ox и Oy) являются асимптотами гиперболы, т.е. ветви бесконечно к ним приближаются, но никогда их не коснутся и не пересекут.
  • Ось симметрии (синим цветом) – это прямая:
    • y = x (при k > 0)
    • y = -x (при k < 0)

Смещение асимптот

Допустим у нас есть функция, заданная формулой:

Пример функции обратной пропорциональности

В этом случае:

  • x = a – это вертикальная асимптота графика (при a ≠ 0) вместо оси Oy;
  • y = b – горизонтальная асимптота (при b ≠ 0) вместо оси Ox.

Канонический вид уравнения гиперболы (координатные оси совпадают с осями графика):

Каноническое уравнение гиперболы

Алгоритм построения гиперболы

Пример 1

Дана функция y = 4/x. Построим ее график.

Решение

Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.

Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.

Теперь отмечаем найденные точки на координатной плоскости и соединяем их плавной линией, которая будет стремиться к осям координат. В итоге получится ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.

Ветвь гиперболы

Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y.

Соединив полученные точки получаем следующий результат. На этом построение гиперболы завершено.

Пример гиперболы в 1 и 3 четвертях координатной плоскости

Пример 2

Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже:

Пример функции обратной пропорциональности

Решение

Так как k < 0, график будет располагаться во второй и четвертой четвертях.

Теперь определяемся с асимптотами, в нашем случае это x = 3 и y = 4 (см. информацию выше про их смещение).

Составим таблицу соответствия значений x и y.

Остается только нанести рассчитанные точки на координатную плоскость и соединить их плавными линиями.

Пример гиперболы во 2 и 4 четвертях координатной плоскости

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии