Эквивалентные преобразования матрицы

408

В данной публикации мы рассмотрим, что такое элементарные (эквивалентные) преобразования матрицы, какие бывают виды, а также разберем примеры для демонстрации теории на практике.

Определение и виды элементарных преобразований

Элементарными называются такие преобразования матрицы, при которых сохраняется эквивалентность матриц (из-за этого их часто называют эквивалентными). Другими словами такие преобразования не меняют множество решений СЛАУ, которая представлена данной матрицей.

Элементарные преобразования применяются в метода Гаусса, чтобы привести матрицу к треугольному или ступенчатому виду.

К элементарным преобразованиям относятся:

  • перестановка двух любых строк местами;
  • умножение любой строки на ненулевую константу;
  • сумма двух любых строк, одна из которых умножена на определенное ненулевое число.

Примечание: аналогичные действия применимы и к столбцам матрицы.

Матрицы A и B являются эквивалентными, если B получена путем элементарных преобразований A (или наоборот). Для обозначения эквивалентности используется специальный символ – ~, т.е. A ~ B.

Примеры эквивалентных преобразований матрицы

Давайте на примере матрицы ниже покажем все виды элементарных преобразований.

Пример матрицы

1. Поменяем вторую и третью строки местами.

Результат перестановки строк матрицы местами

2. Умножим первую строку на число 3.

Пример элементарного преобразования матрицы (умножение строки на ненулевое число)

3. Вычтем из третьей строки удвоенную вторую.

Пример элементарного преобразования матрицы (вычитание одной строки из другой)

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии