Система линейных алгебраических уравнений

332

В данной публикации мы рассмотрим определение системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), как она выглядит, какие виды бывают, а также как ее представить в матричной форме, в том числе расширенной.

Определение системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений (или сокращенно “СЛАУ”) – это система, которая в общем виде выглядит так:

Общий вид записи системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

  • m – количество уравнений;
  • n – количество переменных.
  • x1, x2,…, xn – неизвестные;
  • a11, a12,…, amn – коэффициенты при неизвестных;
  • b1, b2,…, bm – свободные члены.

Индексы коэффициентов (aij) формируются следующим образом:

  • i – номер линейного уравнения;
  • j – номер переменной, к которой относится коэффициент.

Решение СЛАУ – такие числа c1, c2,…, cn , при постановке которых вместо x1, x2,…, xn, все уравнения системы превратятся в тождества.

Виды СЛАУ

  1. Однородная – все свободные члены системы равны нулю (b1 = b2 = … = bm = 0).
    Однородная система линейных уравнений
  2. Неоднородная – если не выполняется условие выше.
  3. Квадратная – количество уравнений равно числу неизвестных, т.е. m = n.
    Квадратная система линейных уравнений
  4. Недоопределенная – число неизвестных больше количества уравнений.
    Недоопределенная система линейных уравнений
  5. Переопределенная – уравнений больше, чем переменных.
    Переопределенная система линейных уравнений

В зависимости от количества решений, СЛАУ может быть:

  1. Совместная – имеет хотя бы одно решение. При этом если оно единственное, система называется определенной, если решений несколько – неопределенной.
    Совместная система линейных уравнений
    СЛАУ выше является совместной, т.к. есть хотя бы одно решение: x = 2, y = 3.
  2. Несовместная – система не имеет решений.
    Несовместная система линейных уравнений
    Правые части уравнений одинаковые, а левые – нет. Таким образом, решений нет.

Матричная форма записи системы

СЛАУ можно представить в матричной форме:

AX = B

  • A – матрица, которая образована коэффициентами при неизвестных:
    Матрица с коэффициентами при переменных СЛАУ
  • X – столбец переменных:
    Столбец переменных СЛАУ
  • B – столбец свободных членов:
    Столбец свободных коэффициентов СЛАУ

Пример
Представим систему уравнений ниже в матричном виде:

Пример системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Пользуясь формами выше, составляем основную матрицу с коэффициентами, столбцы с неизвестными и свободными членами.

Пример матрицы с коэффициентами при переменных СЛАУ

Пример столбца переменных СЛАУ

Пример столбца свободных коэффициентов СЛАУ

Полная запись заданной системы уравнений в матричном виде:

Пример записи системы линейных уравнений в матричной форме

Расширенная матрица СЛАУ

Если к матрице системы A добавить справа столбец свободных членов B, разделив данные вертикальной чертой, то получится расширенная матрица СЛАУ.

Для примера выше получается так:

Пример расширенной матрицы

Обозначение расширенной матрицы– обозначение расширенной матрицы.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии