Что такое уравнение: определение, решение, примеры

В данной публикации мы рассмотрим, что такое уравнение, а также, что значит его решить. Представленная теоретическая информация сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.

Определение уравнения

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которе требуется найти.

Это число обычно обозначается маленькой латинской буквой (чаще всего – x, y или z) и называется переменной уравнения.

Другими словами, равенство является уравнением только в том случае, когда содержит букву, значение которой требуется вычислить.

Примеры простейших уравнений (одна неизвестная и одно арифметическое действие):

• x + 3 = 5
• y – 2 = 12
  
• z + 10 = 41

В более сложных уравнениях переменная может встречаться несколько раз, также, в них могут содержаться скобки и более сложные математические операции. Например:

• 2x + 4 – x = 10
• 3 · (y – 2) + 4y = 15
• x² + 5 = 9

Также, в уравнении может быть несколько переменных, например:

• x + 2y = 14
• (2x – y) · 2 + 5z = 22

Корень уравнения

Допустим, у нас есть уравнение 2x + 6 = 16.

Оно обращается в верное равенство при x = 5. Это значение (число) и является корнем уравнения.

Решить уравнение – это значит найти его корень или корни (в зависимости от количества переменных), либо доказать, что их нет.

Обычно, корень пишется так: x = 3. Если корней несколько, они просто перечисляются через запятую, например: x₁ = 2, x₂ = -5.

Примечания:

1. Некоторые уравнения могут быть не решаемы.

Например: 0 · x = 7. Какое бы мы число не подставили вместо x, получить верное равенство не получится. В этом случае в ответе пишется: “уравнение не имеет корней”.

2. Некоторые уравнения имеют бесконечное множество корней.

Например: y = y. В данном случае решением является любое число, т.е. x ∈ R, x ∈ Z, x ∈ N, где N, Z и R – это натуральные, целые и действительные числа, соответственно.

Равносильные уравнения

Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными.

Например: x + 3 = 5 и 2x + 4 = 8. У обоих уравнений решением является число два, т.е. x = 2.

Основные равносильные преобразования уравнений:

1. Перенос какого-то слагаемого из одной части уравнений в другую с изменением его знака на противоположный.

Например: 3x + 7 = 5 равносильно 3x + 7 – 5 = 0.

2. Умножение/разделение обеих частей уравнения на одно и то же число, не равное нулю.

Например: 4x – 7 = 17 равносильно 8x – 14 = 34.

Уравнение, также, не изменится, если к обеим его частям прибавить/отнять одно и то же число.

3. Приведение подобных слагаемых.

Например: 2x + 5x – 6 + 2 = 14 равносильно 7x – 18 = 0.