Метод Крамера для решения СЛАУ

В данной публикации мы рассмотрим формулировку и формулу метода Крамера, а также разберем пример практической задачи для закрепления теоретического материала.

Теорема Крамера

Система линейных уравнений может решаться несколькими способами, и один из них – это метод Крамера (или теорема), который так назван в честь швейцарского математика Габриэля Крамера.

Формулировка теоремы:

Если определитель матрицы, соответствующий квадратной СЛАУ не равняется нулю, значит система является совместной и имеет одно решение, которое можно найти следующим образом:

• Δ – определитель матрицы системы;
• Δ_i – определитель, в котором место столбца i расположен столбец правых частей.

Примечание: если определитель матрицы, соответствующей системе, равняется нулю, то она может быть и совместной, и несовместной.

Пример задачи

Давайте с помощью метода Крамера решим систему линейных уравнений ниже:

Решение

1. Для начала представим заданное СЛАУ в виде расширенной матрицы A.

2. Определитель матрицы (без учета столбца свободных членов) не равен нулю, значит у системы есть решение, причем единственное.

3. Считаем определитель, заменив первый столбец на третий (т.е. для корня x).

4. Теперь аналогичным образом вычислим определитель, подставив вместо второго столбца третий (для y).

5. Остается только воспользоваться формулой выше, чтобы найти x и y.

Ответ: x = 2, y = 5.