Нахождение обратной матрицы

92

В данной публикации мы рассмотрим, что такое обратная матрица, а также на практическом примере разберем, как ее можно найти с помощью специальной формулы и алгоритма последовательных действий.

Определение обратной матрицы

Для начала вспомним, что из себя представляют обратные значения в математике. Допустим, у нас есть число 7. Тогда обратное ему будет равняться 7-1 или 1/7. Если умножить данные числа, в результате получится один, т.е. 7 · 7-1 = 1.

Почти то же самое и с матрицами. Обратной называется такая матрица, умножив которую на исходную, мы получим единичную. Обозначается она как A-1.

A · A-1 = E

Алгоритм нахождения обратной матрицы

Для нахождения обратной матрицы нужно уметь вычислять определитель матрицы, а также иметь навыки выполнения определенных действий с ними.

Сразу отметить, что найти обратную можно только для квадратной матрицы, а делается это по формуле ниже:

Формула для вычисления обратной матрицы

|A| – определитель матрицы;
ATM – транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Примечание: если определитель равен нулю, то обратной матрицы не существует.

Пример
Давайте найдем для матрицы A ниже обратную ей.

Пример квадратной матрицы

Решение
1. Для начала найдем определитель заданной матрицы.

Пример расчета определителя матрицы

2. Теперь составим матрицу миноров, которая имеет те же самые размеры, что и исходная:

Общий вид таблицы миноров

Нам нужно выяснить, какие числа должны стоять на месте звездочек. Начнем с верхнего левого элемента матрицы. Минор к нему находится путем зачеркивания строки и столбца, в котором он находится, т.е. в обоих случаях под номером один.

Пример нахождения минора матрицы

Число, которое останется после зачеркивания, и является требуемым минором, т.е. M11 = 8.

Аналогичным образом находим миноры для оставшихся элементов матрицы и получаем такой результат.

Пример таблицы миноров к матрице

3. Определяем матрицу алгебраических дополнений. Как их посчитать для каждого элемента мы рассмотрели в отдельной публикации.

Пример матрицы алгебраических дополнений

Например, для элемента a11 алгебраическое дополнение считается так:

A11 = (-1)1+1 · M11 = 1 · 8 = 8

4. Выполняем транспонирование полученной матрицы алгебраических дополнений (т. е. поменяем столбцы и строки местами).

Пример транспонированной матрицы миноров

5. Остается только воспользоваться формулой выше, чтобы найти обратную матрицу.

Пример нахождения обратной матрицы

Ответ можем оставить в таком виде, не деля элементы матрицы на число 11, так как в этом случае получится некрасивые дробные числа.

Проверка результата

Чтобы убедиться в том, что мы получили обратную исходной матрицу, мы можем найти их произведение, которое должно равняться единичной матрице.

Результат умножения обратной матрицы на исходную

В результате мы получили единичную матрицу, значит все сделали верно.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии