Извлечение корня из комплексного числа

111

В данной публикации мы рассмотрим, как можно извлечь корень из комплексного числа, а также как это может помочь в решении квадратных уравнений, дискриминант которых меньше нуля.

Извлекаем корень из комплексного числа

Квадратный корень

Как мы знаем, извлечь корень из отрицательного действительного числа нельзя. Но когда речь идет о комплексных числах, это действие можно выполнить. Давайте разбираться.

Допустим, у нас есть число z = -9. Для -9 существует два корня:

z1 = √-9 = -3i
z1 = √-9 = 3i

Проверим полученные результаты путем решения уравнения z2 = -9, не забывая, что i2 = -1:

(-3i)2 = (-3)2 ⋅ i2 = 9 ⋅ (-1) = -9
(3i)2 = 32 ⋅ i2 = 9 ⋅ (-1) = -9

Таким образом, мы доказали, что комплексно сопряженные числа -3i и 3i являются корнями -9.

Обычно корень из отрицательно числа записывается так:
-1 = ±i
-4 = ±2i
-9 = ±3i
-16 = ±4i и т.д.

Корень в степени n

Допустим, дано уравнения вида z = nw. Оно имеет n корней (z0, z1, z2,…, zn-1), которые можно вычислить по формуле ниже:

Корень комплексного числа (формула)

|w| – модуль комплексного числа w;
φ – его аргумент;
k – параметр, который принимает значения: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Квадратные уравнения с комплексными корнями

Извлечение корня из отрицательного числа меняет привычное представление о решении квадратных уравнений. Если дискриминант (D) меньше нуля, то действительных корней быть не может, но они могут быть представлены в виде комплексных чисел.

Пример
Решим уравнение x2 – 8x + 20 = 0.

Решение
a = 1, b = -8, c = 20
D = b2 – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, но мы все равно можем извлечь корень из отрицательного дискриминанта:
D = √-16 = ±4i

Теперь мы можем вычислить корни:
x1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Следовательно, уравнение x2 – 8x + 20 = 0 имеет два комплексно сопряженных корня:
x1 = 4 + 2i
x2 = 4 – 2i

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии