Извлечение корня из комплексного числа

В данной публикации мы рассмотрим, как можно извлечь корень из комплексного числа, а также как это может помочь в решении квадратных уравнений, дискриминант которых меньше нуля.

Извлекаем корень из комплексного числа

Квадратный корень

Как мы знаем, извлечь корень из отрицательного действительного числа нельзя. Но когда речь идет о комплексных числах, это действие можно выполнить. Давайте разбираться.

Допустим, у нас есть число z = -9. Для √-9 существует два корня:

z₁ = √-9 = -3i
z₁ = √-9 = 3i

Проверим полученные результаты путем решения уравнения z² = -9, не забывая, что i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9
(3i)² = 3² ⋅ i² = 9 ⋅ (-1) = -9

Таким образом, мы доказали, что комплексно сопряженные числа -3i и 3i являются корнями √-9.

Обычно корень из отрицательно числа записывается так:
√-1 = ±i
√-4 = ±2i
√-9 = ±3i
√-16 = ±4i и т.д.

Корень в степени n

Допустим, дано уравнения вида z = ⁿ√w. Оно имеет n корней (z₀, z₁, z₂,…, z_n-1), которые можно вычислить по формуле ниже:

|w| – модуль комплексного числа w;
φ – его аргумент;
k – параметр, который принимает значения: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Квадратные уравнения с комплексными корнями

Извлечение корня из отрицательного числа меняет привычное представление о решении квадратных уравнений. Если дискриминант (D) меньше нуля, то действительных корней быть не может, но они могут быть представлены в виде комплексных чисел.

Пример
Решим уравнение x² – 8x + 20 = 0.

Решение
a = 1, b = -8, c = 20
D = b² – 4ac = 64 – 80 = -16

D < 0, но мы все равно можем извлечь корень из отрицательного дискриминанта:
√D = √-16 = ±4i

Теперь мы можем вычислить корни:
x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Следовательно, уравнение x² – 8x + 20 = 0 имеет два комплексно сопряженных корня:
x₁ = 4 + 2i
x₂ = 4 – 2i