Что такое средняя линия четырехугольника

183

В данной публикации мы рассмотрим определение и основные свойства средних линий выпуклого четырехугольника касательно точки их пересечения, соотношения с диагоналями и т.д.

Примечание: далее мы будем рассматривать только выпуклую фигуру.

Определение средней линии четырехугольника

Отрезок, соединяющий середины противоположных сторон четырехугольника (т.е. не пересекающий их), называется его средней линией.

Средние лини выпуклого четырехугольника

  • EF – средняя линия, соединяющая середины AB и CD; AE=EB, CF=FD.
  • GH – средняя линия, сеодиняющая середины BC и AD; BG=GC, AH=HD.

Свойства средней линии четырехугольника

Свойство 1

Средние линии четырехугольника пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Пересечение средних линий выпуклого четырехугольника

  • EF и GH (средние линии) пересекаются в точке O;
  • EO=OF, GO=OH.

Примечание: Точка O является центроидом (или барицентром) четырехугольника.

Свойство 2

Точка пересечения средних линий четырехугольника является серединой отрезка, соединяющего середины его диагоналей.

Точка пересечения средних линий выпуклого четырехугольника

  • K – середина диагонали AC;
  • L – середина диагонали BD;
  • KL проходит через точку O, соединяя K и L.

Свойство 3

Середины сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма, который называется параллелограммом Вариньона.

Параллелограмм Вариньона внутри выпуклого четырехугольника

Центром образованного таким образом параллелограмма и точкой пересечения его диагоналей является середина средних линий исходного четырехугольника, т.е. точка их пересечения – O.

Примечание: Площадь параллелограмма равняется половине площади четырехугольника.

Свойство 4

Если углы между диагоналями четырехугольника и его средней линией равны, значит диагонали имеют одинаковую длину.

Средние линии выпуклого четырехугольника

  • EF – средняя линия;
  • AC и BD – диагонали;
  • ∠ELC = ∠BMF = α, следовательно AC=BD

Свойство 5

Средняя линия четырехугольника меньше или равна полусумме непересекающих ее сторон (при условии, что данные стороны параллельны).

Средние линии трапеции

EF – средняя линия, не пересекающаяся со сторонами AD и BC.

Иначе говоря, средняя линия четырехугольника равняется половине суммы не пересекающих ее сторон тогда и только тогда, когда данный четырехугольник является трапецией. В этом случае рассматриваемые стороны являются основаниями фигуры.

Свойство 6

Для вектора средней линии произвольного четырехугольника выполняется следующее равенство:

Векторное равенство для средней линии выпуклого четырехугольника

Средняя линия выпуклого четырехугольника

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии