В данной публикации мы рассмотрим определение, виды и свойства (касательно диагоналей, углов, средней линии, точки пересечения боковых сторон и т.д.) одной из основных геометрических фигур – трапеции.
Определение трапеции
Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а остальные две – нет.
Параллельные стороны называются основаниями трапеции (AD и BC), две другие стороны – боковыми (AB и CD).
Угол при основании трапеции – внутренний угол трапеции, образованный ее основанием и боковой стороной, например, α и β.
Трапеция записывается путем перечисления его вершин, чаще всего, это ABCD. А основаниям обозначаются маленькими латинскими буквами, например, a и b.
Средняя линия трапеции (MN) – отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.
Высота трапеции (h или BK) – это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.
Виды трапеций
Равнобедренная трапеция
Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (или равнобокой).
AB = CD
Прямоугольная трапеция
Трапеция, у которой оба угла при одной из ее боковых сторон прямые, называется прямоугольной.
∠BAD = ∠ABC = 90°
Разносторонняя трапеция
Трапеция является разносторонней, если ее боковые стороны не равны, и ни один из углов при основании не является прямым.
Свойства трапеции
Перечисленные ниже свойства применимы к любым видам трапеций. Свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.
Свойство 1
Сумма углов трапеции, прилежащих к одной и той же боковой стороне, равна 180°.
α + β = 180°
Свойство 2
Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется половине их суммы.
Свойство 3
Отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, лежит на ее средней линии и равняется половине разности оснований.
- KL – отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD
- KL лежит на средней линии трапеции MN
Свойство 4
Точки пересечения диагоналей трапеции, продолжений ее боковых сторон и середин оснований лежат на одной прямой.
- DK – продолжение боковой стороны CD
- AK – продолжение боковой стороны AB
- E – середина основания BC, т.е. BE = EC
- F – середина основания AD, т.е. AF = FD
Если сумма углов при одном основании равняется 90° (т.е. ∠DAB + ∠ADC = 90°), значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом, а отрезок, который соединяет середины оснований (ML) равняется половине их разности.
Свойство 5
Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (при основаниях) подобны, а два других (при боковых сторонах) равны по площади.
- ΔAED ~ ΔBEC
- SΔABE = SΔCED
Свойство 6
Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, можно выразить через длины оснований:
Свойство 7
Биссектрисы углов трапеции при одинаковой боковой стороне взаимно перпендикулярны.
- AP – биссектриса ∠BAD
- BR – биссектриса ∠ABC
- AP перпендикулярна BR
Свойство 8
В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон.
Т.е. AD + BC = AB + CD
Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: R = h/2.
