Что такое трапеция: определение, виды, свойства

243

В данной публикации мы рассмотрим определение, виды и свойства (касательно диагоналей, углов, средней линии, точки пересечения боковых сторон и т.д.) одной из основных геометрических фигур – трапеции.

Определение трапеции

Трапеция – это четырехугольник, две стороны которого параллельны, а остальные две – нет.

Трапеция с основаниями a и b

Параллельные стороны называются основаниями трапеции (AD и BC), две другие стороны – боковыми (AB и CD).

Угол при основании трапеции – внутренний угол трапеции, образованный ее основанием и боковой стороной, например, α и β.

Трапеция записывается путем перечисления его вершин, чаще всего, это ABCD. А основаниям обозначаются маленькими латинскими буквами, например, a и b.

Средняя линия трапеции (MN) – отрезок, соединяющий середины ее боковых сторон.

Средняя линия трапеции

Высота трапеции (h или BK) – это перпендикуляр, проведенный от одного основания к другому.

Высота трапеции

Виды трапеций

Равнобедренная трапеция

Трапеция, боковые стороны которой равны, называется равнобедренной (или равнобокой).

Равнобедренная трапеция

AB = CD

Прямоугольная трапеция

Трапеция, у которой оба угла при одной из ее боковых сторон прямые, называется прямоугольной.

Прямоугольная трапеция

∠BAD = ∠ABC = 90°

Разносторонняя трапеция

Трапеция является разносторонней, если ее боковые стороны не равны, и ни один из углов при основании не является прямым.

Свойства трапеции

Перечисленные ниже свойства применимы к любым видам трапеций. Свойства равнобедренной и прямоугольной трапеций представлены на нашем сайте в отдельных публикациях.

Свойство 1

Сумма углов трапеции, прилежащих к одной и той же боковой стороне, равна 180°.

Углы при боковой стороне трапеции

α + β = 180°

Свойство 2

Средняя линия трапеции параллельна ее основаниям и равняется половине их суммы.

Средняя линия трапеции

Формула для нахождения средней линии трапеции через длины ее оснований

Свойство 3

Отрезок, который соединяет середины диагоналей трапеции, лежит на ее средней линии и равняется половине разности оснований.

Формула для нахождения отрезка между серединами диагоналей трапеции

Отрезок между серединами диагоналей трапеции

  • KL – отрезок, соединяющий середины диагоналей AC и BD
  • KL лежит на средней линии трапеции MN

Свойство 4

Точки пересечения диагоналей трапеции, продолжений ее боковых сторон и середин оснований лежат на одной прямой.

Продолжение боковых сторон трапеции

  • DK – продолжение боковой стороны CD
  • AK – продолжение боковой стороны AB
  • E – середина основания BC, т.е. BE = EC
  • F – середина основания AD, т.е. AF = FD

Если сумма углов при одном основании равняется 90° (т.е. ∠DAB + ∠ADC = 90°), значит продолжения боковых сторон трапеции пересекаются под прямым углом, а отрезок, который соединяет середины оснований (ML) равняется половине их разности.

Продолжение боковых сторон трапеции

Формула для нахождения отрезка между серединами оснований трапеции

Свойство 5

Диагонали трапеции делят ее на 4 треугольника, два из которых (при основаниях) подобны, а два других (при боковых сторонах) равны по площади.

Пересечение диагоналей трапеции

  • ΔAED ~ ΔBEC
  • SΔABE = SΔCED

Свойство 6

Отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции параллельно ее основаниям, можно выразить через длины оснований:

Формула для нахождения отрезка проходящего через пересечение диагоналей трапеции

Проходящий через пересечение диагоналей трапеции отрезок

Свойство 7

Биссектрисы углов трапеции при одинаковой боковой стороне взаимно перпендикулярны.

Перпендикулярность биссектрис углов трапеции при одной и той же боковой стороне

  • AP – биссектриса ∠BAD
  • BR – биссектриса ∠ABC
  • AP перпендикулярна BR

Свойство 8

В трапецию можно вписать окружность только в том случае, если сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон.

Т.е. AD + BC = AB + CD

Вписанная в трапецию окружность

Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине ее высоты: R = h/2.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии