Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

226

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства биссектрисы равностороннего треугольника, а также разберем пример решения задачи по данной теме.

Примечание: напомним, что равносторонним называется треугольник, в котором равны как все стороны, так и все углы.

Свойства биссектрисы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая биссектриса равностороннего треугольника одновременно является и медианой, и высотой, и серединным перпендикуляром.

Биссектриса в равностороннем треугольнике

BD – биссектриса угла ABC, которая также является:

  • высотой, опущенной на сторону AC;
  • медианой, делящей сторону AC на два равных отрезка (AD = DC);
  • серединным перпендикуляром, проведенным к AC.

Свойство 2

Все три биссектрисы равностороннего треугольника равны между собой.

Равенство биссектрис в равностороннем треугольнике

AF = BD = CE

Свойство 3

Биссектрисы равностороннего треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины.

Деление биссектрис равностороннего треугольника в точке пересечения

  • AG = 2GF
  • BG = 2GD
  • CG = 2GE

Свойство 4

Точка пересечения биссектрис равностороннего треугольника является центром описанной и вписанной окружностей.

Центры описанной и вписанной в равносторонний треугольник окружностей в точке пересечения биссектрис

  • r – радиус вписанной окружности;
  • R – радиус описанной окружности;
  • R = 2r.

Свойство 5

Биссектриса равностороннего треугольника делит его на два равновеликих (равных по площади) прямоугольных треугольника.

Деление равностороннего треугольника биссектрисой на два равновеликих прямоугольных треугольника

S1 = S2

Примечание: Три биссектрисы равностороннего треугольника делят его на 6 равновеликих прямоугольных треугольников.

Свойство 6

Любая из внешних биссектрис угла равностороннего треугольника параллельна стороне, лежащей напротив данного угла.

Параллельность внешних биссектрис углов равностороннего треугольника противолежащим сторонам

  • AD и AE – внешние биссектрисы, параллельные BC;
  • BK и BL – внешние биссектрисы, параллельные AC;
  • CM и CN – внешние биссектрисы, параллельные AB.

Свойство 7

Длину биссектрисы (la) равностороннего треугольника можно выразить через его сторону.

Формула для нахождения биссектрисы равностороннего треугольника через длину его стороны

где a – сторона треугольника.

Пример задачи

Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности равен 4 см. Найдите длину его стороны.

Решение

Согласно Свойствам 3 и 4, рассмотренным выше, радиус вписанной окружности составляет 1/3 часть от биссектрисы равностороннего треугольника. Следовательно, вся ее длина равняется 12 см (4 см ⋅ 3).

Теперь мы можем найти сторону треугольника с помощью формулы ниже (получена из Свойства 7):

Нахождение стороны равностороннего треугольника через длину биссектрисы (пример)

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя