Что такое параллелограмм: определение, свойства, признаки

163

В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – параллелограмма.

Определение параллелограмма

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.

Параллелограмм ABCD

AB || CD, BC || AD

Обычно параллелограмм записывается путем перечисления четырех его вершин, например, ABCD. А пары параллельных сторон, чаще всего, обозначаются маленькими латинскими буквами, в нашем случае – a и b.

Частные случаи параллелограмма: квадрат, ромб и прямоугольник.

Свойства параллелограмма

Свойство 1

Противолежащие (или противоположные) стороны параллелограмма равны.

Равенство противоположных сторон параллелограмма

  • AB = CD
  • BC = AD

Свойство 2

Противолежащие углы параллелограмма равны.

Равенство противолежащих углов параллелограмма

  • ∠ABC = ∠ADC
  • ∠BAD = ∠BCD

Свойство 3

Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равняется 180°.

Для рисунка выше: α + β = 180°.

Свойство 4

Любая из двух диагоналей параллелограмма делит его на два равных треугольника.

Диагональ параллелограмма

△ABC = △ADC

Свойство 5

Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.

Пересечение диагоналей параллелограмма

  • AE = EC
  • BE = ED

Свойство 6

Точка пересечения диагоналей параллелограмма (также называется центром симметрии) одновременно является точкой пересечения его средних линий.

Пересечение средних линий параллелограмма

Средняя линия четырехугольника – это отрезок, который соединяет середины его противоположных сторон.

В данном случае средние лини – это отрезки FM и EN.

Свойство 7

Угол между двумя высотами в параллелограмме равен его острому углу.

Угол между высотами параллелограмма

  • BL – высота, проведенная к стороне CD
  • BK – высота, проеденная к стороне AD
  • ∠KBL = ∠BAK

Свойство 8

Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (т.е. расположены под углом 90° друг к другу).

Перпендикулярность биссектрис углов параллелограмма

  • AP – биссектриса ∠BAD
  • BR – биссектриса ∠ABC
  • AP перпендикулярна BR

Свойство 9

Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны.

Параллельность биссектрис углов параллелограмма

Углы ABC и ADC противолежащие. Их биссектрисы параллельны, т.е. BR || DP.

Свойство 10: тождество параллелограмма

Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равняется удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.

Тождество параллелограмма (формула)

Признаки параллелограмма

Четырехугольник ABCD без самопересечений является параллелограммом, если для него справедливо одно из утверждений ниже:

  • Две противоположные стороны одновременно равны и параллельны.
  • Все противолежащие углы попарно равны.
  • Все противоположные стороны попарно равны.
  • Все противоположные стороны попарно параллельны.
  • Обе диагонали в точке пересечения делятся пополам.
Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии