В данной публикации мы рассмотрим определение, свойства и признаки (с рисунками) одной из основных геометрических фигур – параллелограмма.
Определение параллелограмма
Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого попарно параллельны.
AB || CD, BC || AD
Обычно параллелограмм записывается путем перечисления четырех его вершин, например, ABCD. А пары параллельных сторон, чаще всего, обозначаются маленькими латинскими буквами, в нашем случае – a и b.
Частные случаи параллелограмма: квадрат, ромб и прямоугольник.
Свойства параллелограмма
Свойство 1
Противолежащие (или противоположные) стороны параллелограмма равны.
- AB = CD
- BC = AD
Свойство 2
Противолежащие углы параллелограмма равны.
- ∠ABC = ∠ADC
- ∠BAD = ∠BCD
Свойство 3
Сумма углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, равняется 180°.
Для рисунка выше: α + β = 180°.
Свойство 4
Любая из двух диагоналей параллелограмма делит его на два равных треугольника.
△ABC = △ADC
Свойство 5
Диагонали параллелограмма в точке пересечения делятся пополам.
- AE = EC
- BE = ED
Свойство 6
Точка пересечения диагоналей параллелограмма (также называется центром симметрии) одновременно является точкой пересечения его средних линий.
Средняя линия четырехугольника – это отрезок, который соединяет середины его противоположных сторон.
В данном случае средние лини – это отрезки FM и EN.
Свойство 7
Угол между двумя высотами в параллелограмме равен его острому углу.
- BL – высота, проведенная к стороне CD
- BK – высота, проеденная к стороне AD
- ∠KBL = ∠BAK
Свойство 8
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, взаимно перпендикулярны (т.е. расположены под углом 90° друг к другу).
- AP – биссектриса ∠BAD
- BR – биссектриса ∠ABC
- AP перпендикулярна BR
Свойство 9
Биссектрисы двух противолежащих углов параллелограмма параллельны.
Углы ABC и ADC противолежащие. Их биссектрисы параллельны, т.е. BR || DP.
Свойство 10: тождество параллелограмма
Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равняется удвоенной сумме квадратов его смежных сторон.
Признаки параллелограмма
Четырехугольник ABCD без самопересечений является параллелограммом, если для него справедливо одно из утверждений ниже:
- Две противоположные стороны одновременно равны и параллельны.
- Все противолежащие углы попарно равны.
- Все противоположные стороны попарно равны.
- Все противоположные стороны попарно параллельны.
- Обе диагонали в точке пересечения делятся пополам.
