Определение и свойства высоты треугольника

131

В данной публикации мы рассмотрим определение высоты треугольника, продемонстрируем, как она выглядит в зависимости от вида треугольника, а также перечислим ее основные свойства.

Определение высоты треугольника

Высота треугольника – это перпендикуляр, который опущен из вершины фигуры на противоположную сторону.

Основание высоты – точка на противоположной стороне треугольника, которую пересекает высота (или точка пересечения их продолжений).

Обычно высота обозначается буквой h (иногда как ha – это означает, что она проведена к стороне a).

Высота в разных видах треугольников

В зависимости от вида фигуры высота может:

  • проходить внутри треугольника (в остроугольном △);
    Высота внутри остроугольного треугольника
  • проходить за рамками треугольника (в тупоугольном △);
    Высота за рамками тупоугольного треугольника
  • являться одним из катетов (в прямоугольном △), за исключением высоты, проведенной к гипотенузе.
    Катет как высота прямоугольного треугольника

Свойства высоты треугольника

Свойство 1

Все три высоты в треугольнике (или их продолжения) пересекаются в одной точке, которая называется ортоцентром (точка O на чертежах ниже).

  • в остроугольном треугольнике;
    Точка пересечения высот (ортоцентр) в остроугольном треугольнике
  • в тупоугольном треугольнике;
    Точка пересечения высот (ортоцентр) в тупоугольном треугольнике
  • в прямоугольном треугольнике.
    Точка пересечения высот (ортоцентр) в прямоугольном треугольнике
    Вершина A является, в т.ч., точкой пересечения высот.

Свойство 2

При пересечении двух высот в треугольнике, образуются следующие подобные треугольники:

  • ABE∼△CBF: по двум углам (∠ABC – общий, ∠AEB и ∠CFB являются прямыми).
    Подобные треугольники при пересечении двух высот в треугольнике
  • AFG∼△CEG: по двум углам (∠AFG и ∠CEG – прямые, ∠AGF и ∠CGE равны как вертикальные углы).
  • ABC∼△BEF: по трем равным углам (∠ABC = ∠EBF, ∠ACB = BFE, CAB = BEF).
    Подобные треугольники при пересечении двух высот в треугольнике
    Примечание: доказательство подобия последней пары треугольников достаточно длинное и не является целью данной статьи, поэтому подробно останавливаться на нем будем.

Свойство 3

Точка пересечения высот в остроугольном треугольнике является центром окружности, вписанной в его ортотреугольник.

Ортоцентр остроугольного треугольника как центр вписанной в его ортотреугольник окружности

Ортотреугольник – треугольник, вершинами которого являются основания высот △ABC. В нашем случае – это △DEF.

Свойство 4

Точки, которые симметричны ортоцентру треугольника относительно его сторон, лежат на окружности, описанной вокруг этого треугольника.

Симметричность точек на описанной вокруг треугольника окружности относительно его ортоцентра и сторон

  • GE = EL
  • GD = DM
  • GF = FK

Примечание: формулы для нахождения высоты треугольника подробно рассмотрены в нашей публикации – “Как найти высоту в треугольнике abc”.

ОСТАВЬТЕ ОТВЕТ

Введите свой комментарий
Пожалуйста, введите свое Имя