Расчет доверительного интервала в Excel

Программа Эксель используется для выполнения различных статистических задач, одной из которых является вычисление доверительного интервала, который применяется как наиболее подходящая замена точечной оценки при малом объеме выборки.

Хотим сразу заметить, что сама процедура вычисления доверительного интервала довольно непростая, однако, в Excel существует ряд инструментов, призванных облегчить выполнение данной задачи. Давайте рассмотрим их.

Вычисление доверительного интервала

Доверительный интервал нужен для того, чтобы дать интервальную оценку каким-либо статическим данным. Основная цель этой операции – убрать неопределенности точечной оценки.

В Microsoft Excel существует два метода выполнения данной задачи:

• Оператор ДОВЕРИТ.НОРМ – применяется в случаях, когда дисперсия известна;
• Оператор ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ– когда дисперсия неизвестна.

Ниже мы пошагово разберем оба метода на практике.

Метод 1: оператора ДОВЕРИТ.НОРМ

Данная функция впервые была внедрена в арсенал программы в редакции Эксель 2010 года (до этой версии ее заменял оператор “ДОВЕРИТ”). Оператор входит в категорию “статистические”.

Формула функции ДОВЕРИТ.НОРМ выглядит так:

=ДОВЕРИТ.НОРМ(Альфа;Станд_откл;Размер)

Как мы видим, у функции есть три аргумента:

• “Альфа” – это показатель уровня значимости, который берется за основу при расчете. Доверительный уровень считается так:
  • 1-"Альфа". Это выражение применимо в случае, если значение “Альфа” представлено в виде коэффициента. Например, 1-0,7=0,3, где 0,7=70%/100%.
  • (100-"Альфа")/100. Применятся это выражение, если мы считаем доверительным уровень со значением “Альфа” в процентах. Например, (100-70)/100=0,3.
• “Стандартное отклонение” — соответственно, стандартное отклонение анализируемой выборки данных.
• “Размер” – объем выборки данных.

Примечание: У данной функции наличие всех трех аргументов является обязательным условием.

Оператор “ДОВЕРИТ”, который применялся в более ранних редакциях программы, содержит такие же аргументы и выполняет те же самые функции.

Формула функции ДОВЕРИТ выглядит следующим образом:

=ДОВЕРИТ(Альфа;Станд_откл;Размер)

Отличий в самой формуле нет никаких, лишь название оператора иное. В редакциях приложения Эксель 2010 года и последующих этот оператор находится в категории “Совместимость”. В более же старых версиях программы он находится в разделе статических функций.

Граница доверительного интервала определяется следующей формулой:

X+(-)ДОВЕРИТ.НОРМ

где Х – это среднее значение по заданному диапазону.

Теперь давайте разберемся, как применять эти формулы на практике. Итак, у нас есть таблица с различными данными 10-ти проведенных замеров. При этом, стандартное отклонение совокупности данных равняется 8.

Перед нами стоит задача – получить значение доверительного интервала с 95%-ым уровнем доверия.

1. Первым делом выбираем ячейку для вывода результата. Затем кликаем по кнопке “Вставить функцию” (слева от строки формул).
2. Откроется окно Мастера функций. Кликнув по текущей категории функций, раскрываем список и щелкаем в нем по строке “Статистические”.
3. В предложенном перечне кликаем по оператору “ДОВЕРИТ.НОРМ”, затем жмем OK.
4. Перед нами появится окно с настройками аргументов функции, заполнив которые нажимаем кнопку OK.
   • в поле “Альфа” указываем уровень значимости. В нашей задаче предполагается 95%-ый уровень доверия. Подставив данное значение в формулу расчета, которую мы рассматривали выше, получаем выражение: (100-95)/100. Пишем его в поле аргумента (или можно сразу написать результат вычисления, равный 0,05).
   • в поле “Станд_откл” согласно нашим условия, пишем цифру 8.
   • в поле “Размер” указываем количество исследуемых элементов. В нашем случае было проведено 10 замеров, значит пишем цифру 10.
5. Чтобы при изменении данных не пришлось заново настраивать функцию, можно автоматизировать ее. Для это применим функцию “СЧЁТ”. Ставим указатель в область ввода информации аргумента “Размер”, затем щелкаем по значку треугольника с левой стороны от строки формул и кликаем по пункту “Другие функции…”.
6. В результате откроется еще одно окно Мастера функций. Выбрав категорию “Статистические”, кликаем по функции “СЧЕТ”, затем – OK.
7. На экране отобразится еще одно окно с настройками аргументов функции, которая применяется для определения числа ячеек в заданном диапазоне, в которых находятся числовые данные.
   Формула функции СЧЕТ пишется так: =СЧЁТ(Значение1;Значение2;...).
   Количество доступных аргументов этой функции может достигать 255 штук. Здесь можно прописать, либо конкретные числа, либо адреса ячеек, либо диапазоны ячеек. Мы воспользуемся последним вариантом. Для этого кликаем по области ввода информации для первого аргумента, затем зажав левую кнопку мыши выделяем все ячейки одного из столбцов нашей таблицы (не считая шапки), после чего жмем кнопку OK.
8. В результате проделанных действий в выбранной ячейке будет выведено результат расчетов по оператору ДОВЕРИТ.НОРМ. В нашей задаче его значение оказалось равным 4,9583603.
9. Но это еще не конечный результат в нашей задаче. Далее требуется рассчитать среднее значение по заданному интервалу. Для этого потребуется применить функцию “СРЗНАЧ”, которая выполняет задачу по вычислению среднего значения в пределах указанного диапазона данных.
   Формула оператора пишется так: =СРЗНАЧ(число1;число2;...).
   Выделяем ячейку, куда планируем вставить функцию и жмем кнопку “Вставить функцию”.
10. В категории “Статистические” выбираем нудный оператор “СРЗНАЧ” и кликаем OK.
11. В аргументах функции в значении аргумента “Число” указываем диапазон, в который входят все ячейки со значениями всех замеров. Затем кликаем OK.
12. В результате проделанных действий среднее значение будет автоматически подсчитано и выведено в ячейку с только что вставленной функцией.
13. Теперь нам нужно рассчитать границы ДИ (доверительного интервала). Начнем с расчета значения правой границы. Выбираем ячейку, куда хотим вывести результат, и выполняем в ней сложение результатов, полученных с помощью операторов “СРЗНАЧ” и “ДОВЕРИТ.НОРМ”. В нашем случае формула выглядит так: A14+A16. После ее набора жмем Enter.
14. В результате будет произведен расчет и результат немедленно отобразится в ячейке с формулой.
15. Затем аналогичным способом выполняем расчет для получения значения левой границы ДИ. Только в этом случае значение результата “ДОВЕРИТ.НОРМ” нужно не прибавлять, а вычитать из результата, полученного при помощи оператора “СРЗНАЧ”. В нашем случае формула выглядит так: =A16-A14.
16. После нажатия Enter мы получим результат в заданной ячейке с формулой.

Примечание: В пунктах выше мы постарались максимально подробно расписать все шаги и каждую применяемую функцию. Однако все прописанные формулы можно записать вместе, в составе одной большой:

• Для определения правой границы ДИ общая формула будет выглядеть так:
  =СРЗНАЧ(B2:B11)+ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;8;СЧЁТ(B2:B11)).
• Точно также и для левой границы, только вместо плюса нужно поставить минус:
  =СРЗНАЧ(B2:B11)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,05;8;СЧЁТ(B2:B11)).

Метод 2: оператор ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ

Теперь давайте познакомимся со вторым оператором для определения доверительного интервала – ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ. Данная функция была внедрена в программу относительно недавно, начиная с версии Эксель 2010, и направлена на определение ДИ выбранной совокупности данных с применением распределения Стьюдента, при неизвестной дисперсии.

Формула функции ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ выглядит следующим образом:

=ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(Альфа;Cтанд_откл;Размер)

Давайте разберем применение данного оператора на примере все той же таблицы. Только теперь стандартное отклонение по условиям задачи нам неизвестно.

1. Сначала выбираем ячейку, куда планируем вывести результат. Затем кликаем по значку “Вставить функцию” (слева от строки формул).
2. Откроется уже хорошо знакомое окно Мастера функций. Выбираем категорию “Статистические”, затем из предложенного списка функций щелкаем по оператору “ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ”, после чего – OK.
3. В следующем окне нам нужно настроить аргументы функции:.
   • В поле “Альфа” как и в первом методе указываем значение 0,05 (или “100-95)/100”).
   • Переходим к аргументу “Станд_откл”. Т.к. по условиям задачи его значение нам неизвестно, нужно произвести соответствующие расчеты, в чем нам поможет оператор “СТАНДОТКЛОН.В”. Щелкаем по кнопке добавления функции и затем –  по пункту “Другие функции…”.
   • В очередном окне Мастера функций выбираем оператор “СТАНДОТКЛОН.В” в категории “Статистические” и кликаем OK.
   • Мы попадаем в окно настройки аргументов функции, формула которой выглядит так: =СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;...). В качестве первого аргумента указываем диапазон, включающий все ячейки столбца “Значение” (не считая шапки).
   • Теперь нужно вернуться обратно в окно с аргументами функции “ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ”. Для этого щелкаем по одноименной надписи в поле ввода формул.
   • Теперь переходим к последнему аргументу “Размер”. Как и в первом методе, здесь можно либо просто указать диапазон ячеек, либо вставить оператор “СЧЕТ”. Выбираем последний вариант.
   • Как только все аргументы заполнены, жмем кнопку OK.
4. В выбранной ячейке отобразится значение доверительного интервала согласно заданным нами параметрам.
5. Далее нам нужно рассчитать значения границ ДИ. А для этого потребуется получить среднее значение по выбранному диапазону. Для этого снова применим функцию “СРЗНАЧ”. Алгоритм действий аналогичен тому, что был описан в первом методе.
6. Получив значение “СРЗНАЧ”, можно приступать к расчетам границ ДИ. Сами формулы ничем не отличаются от тех, что использовались с оператором “ДОВЕРИТ.НОРМ”:
   • Правая граница ДИ=СРЗНАЧ+ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ
   • Левая граница ДИ=СРЗНАЧ-ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ

Заключение

Арсенал инструментов Excel невероятно большой, и наряду с распространенными функциями, программа предлагает большое разнообразие специальных функций, которые помогут существенно облегчить работу с данными. Возможно, описанные выше шаги некоторым пользователям, на первый взгляд, могут показаться сложными. Но после детального изучения вопроса и последовательности действий, все станет намного проще.