В данной публикации мы рассмотрим одну из классических теорем аффинной геометрии – теорему Менелая, которая так названа в честь древнегреческого математика и астронома, Менелая Александрийского. Также разберем пример решения задачи для того, чтобы закрепить представленный материал.
Формулировка теоремы
Дан треугольник ABC и прямая, которая проходит через него следующим образом:
- B’ – точка пересечения со стороной AC;
- C’ – точка пересечения со стороной AB;
- A’ – точка пересечения прямой и продолжения стороны ВC;
- Важно: A’, B’ и С’ лежат на одной прямой, т.е. являются коллинеарными.
При выполнении всех перечисленных выше условий справедливо соотношение длин отрезков:
Следствия из теоремы
1. Тригонометрический эквивалент
Примечание: все углы – ориентированные
2. Вид теоремы в сферической геометрии
3. Вид теоремы в геометрии Лобачевского
Пример задачи
Дан треугольник ABC с точками X на стороне AB и Y на стороне AC. На пересечении прямой, проходящей через данные точки, и продолжения стороны BC образована точка Z. При этом длина BC в два раза больше СZ, а отрезки AY и YC равны между собой. Найдите соотношение BX к XA.
Решение
Давайте представим условия задачи в виде чертежа. Для удобства условно обозначим отрезок CZ буквой a (значит, BC = 2a) и AY=YC как b.
Теперь составляем соотношение отрезков, воспользовавшись теоремой Менелая:
Подставляем вместо данных отрезков наши условные обозначения:
После сокращения дробей получаем:
Таким образом, BX = 3XA.
