Показатель степени: определение и свойства

Степень aⁿ равняется произведению числа a на само себя n-ое количество раз.

aⁿ = a * a * a… a (n раз)

В данном случае a – это основание, а n – показатель степени.

Примеры:

• 3¹ = 3
• 3² = 3 × 3 = 9
• 3³ = 3 × 3 × 3 = 27
• 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81
• 3⁵ = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243

Произошение:

• Число a² следует произносить как “a в квадрате”. Например, 4² – это “четыре в квадрате”.
• Число a³ произносится как “a в кубе”. Например, 4³ – это “четыре в кубе”.
• Во всех остальных случаях aⁿ говорится как “a в n-ой степени”. Например, 4⁶ – это “четыре в шестой степени”.

Правила операций с показателями степени

#1. Умножение степеней (одинаковые основания)

aⁿ ⋅ a^m = a^n+m

Пример: 2² ⋅ 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32

#2. Степень произведения

(a ⋅ b)ⁿ  = aⁿ ⋅ bⁿ

Пример: (2 ⋅ 3)⁴ = 2⁴ ⋅ 3⁴ = 1296

#3. Деление степеней (одинаковые основания)

aⁿ / a^m = a^n-m

Пример: 2⁵ ⋅ 2³ = 2^5-3 = 2² = 4

#4. Степень частного

(a / b)ⁿ  = aⁿ / bⁿ

Пример: (12 / 4)³ = 12³ / 4³ = 27

#5. Возведение степени в степень

(aⁿ)^m = a^{n · m}

Пример: (5²)³ = 5^{2 · 3} = 3125

#6. Степень, возведенная в степень

a^nm = a^(nm)

Пример: 2⁴² = 2⁽⁴²⁾ = 2^{(4 · 4)} = 2⁽¹⁶⁾ = 65536

#7. Извлечение степени из числа в степени

^m√(aⁿ) = a ^n/m

Пример: ³√(2⁶) = 2^6/3 = 2² = 2⋅2 = 4

#8. Возведение в отрицательную степень

b^-n = 1 / bⁿ

Пример: 2^-4 = 1 / 2⁴ = 1 / (2⋅2⋅2⋅2) = 1/16 = 0,0625

#9. Число в нулевой степени

a⁰ = 1

Пример: 10⁰ = 1

#10. Возведение нуля в степень

0ⁿ = 0, для n>0

Пример: 0⁷ = 0

#11. Число в первой степени

a¹ = a

Пример: 15¹ = 15

#12. Единица в степени (любой)

1ⁿ = 1

Пример: 1²⁰ = 1

#13. Минус один в степени

(-1)ⁿ = 1, если n – четное число

(-1)ⁿ = -1, если n – нечетное число

Пример: (-1)⁶ = 1

#14. Возведение числа в дробную степень (в числителе – единица)

a^1/n = ⁿ√a

Пример: 27^1/3 = ³√27 = 3