Смешанное произведение векторов

14

В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти смешанное произведение трех векторов через вычисление определителя соответствующей матрицы, перечислим свойства этой операции, а также разберем пример решения задачи.

Нахождение смешанного произведения векторов

Смешанное произведение векторов равняется определителю матрицы, которая составлена из координат этих векторов.

Алгоритм действий следующей:

Допустим, у нас есть три вектора: a = {ax; ay; az}, b = {bx; by; bz} и с = {сx; сy; сz}. Чтобы найти их смешанное произведение (в декартовой системе) мы составляем матрицу с элементами, как показано ниже, и затем просто вычисляем ее определитель.

Формула смешанного произведения трех векторов

Свойства смешанного произведения векторов

1. Модуль смешанного произведения трех векторов равняется объему параллелепипеда, который образован этими векторами.

Vпаралл. = |a · [b × c]|

2. Объем пирамиды, которая образована тремя векторами, равняется 1/6 от модуля смешанного произведения данных векторов.

Vпаралл. = 1/6 · |a · [b × c]|

3. Смешанное произведение трех ненулевых компланарных векторов равняется нулю.

4. a · [b × c] = b · (a · c) – c · (a · b)

5. a · [b × c] = b · [c × a] = c · [a × b] = a · [c ×b] = b · [a ×c] = c · [b ×a]

6. a · [b × c] + b · [c × a] + c · [a × b] = 0 (тождество Якоби)

Пример задачи

Найдем смешанное произведение векторов a = {3; 8; 4}, b = {1; -10; 12} и с = {11; 5; 9}.

Решение:

Пример смешанного произведения трех векторов

a · [b × c] = 3 · (-10) · 9 + 11 · 8 · 12 + 1 · 5 · 411 · (-10) · 43 · 5 · 121 · 8 · 9 = -270 + 1056 + 20 + 440 – 180 – 72 = 994

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии