В данной публикации мы рассмотрим одну из формул сокращенного умножения – сумма кубов, с помощью которой выполняется раскладывание выражения на множители. Также разберем примеры решения задач для закрепления представленного материала.
Формула суммы кубов
Сумма кубов чисел/выражений равна произведению их суммы на неполный квадрат их разности.
a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)
Полный квадрат разности выглядит так: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2. В нашем случае во второй скобке вместо удвоенного произведения стоит одинарное, поэтому выражение называется неполным.
Формула справедлива и справа-налево:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 + b3
Примечание: a3 + b3 ≠ (a + b)3
Доказательство формулы
Убедиться в правильности выражения можно, просто перемножив скобки, соблюдая правила арифметики при их раскрытии. Давайте так и сделаем:
(a + b)(a2 – ab + b2) = a3 – a2b + ab2 + a2b – ab2 + b3 = a3 + b3.
Примеры задач
Задание 1
Разложите на множители выражение: 63 + (4x)3.
Решение
63 + (4x)3 = (6 + 4x)(62 – 6 ⋅ 4x + (4x)2) = (6 + 4x)(36 – 24x + 16x2)
Задание 2
Разложите выражение на произведение множителей: (7x)3 + (3y2)3.
Решение
(7x)3 + (3y2)3 = (7x + 3y2)((7x)2 – 7x ⋅ 3y2 + (3y)2) = (7x + 3y2)(49x2 – 21xy2 + 9y2)
Задание 3
Представьте выражение 64x3 + 125 в виде суммы кубов и разложите его на множители.
Решение
64x3 + 125 = (4x)3 + 53 = (4x + 5)((4x)2 – 4x ⋅ 5 + 52) = (4x + 5)(16x2 – 20x + 25)
