Сумма и разность векторов

В данной публикации мы рассмотрим, как найти сумму и разность векторов, приведем геометрическую интерпретацию, а также формулы, свойства и примеры этих действий.

Сумма векторов

Сложение векторов выполняется по правилу треугольника.

Геометрическая интерпретация:

Суммой a и b является вектор c, начало которого совпадает с началом a, а конец – с концом b. При этом конец вектора a должен совпадать с началом вектора b.

Для сложения векторов также используется правило параллелограмма.

Два неколлинеарных вектора a и b можно привести к общему началу, и в этом случае их суммой является вектор c, совпадающий с диагональю параллелограмма и берущий начало в той же точке, что и исходные векторы.

Формула сложения векторов

c_i = a_i + b_i

Элементы вектора c равняются попарной сумме соответствующих элементов a и b.

Свойства сложения векторов

1. Коммутативность: a + b = b + a

2. Ассоциативность: (a + b) + c = a + (b + c)

3. Прибавление к нулю: a + 0 = a

4. Сумма противоположных векторов: a + (-a) = 0

Примечание: Вектор –a коллинеарен и равен по длине a, но имеет противоположное направление, из-за чего называется противоположным.

Разность векторов

Для вычитания векторов также применяется правило треугольника.

Если из вектора a вычесть b, то получится c, причем должно соблюдаться условие: b + c = a

Формула вычитания векторов

c_i = a_i – b_i

Элементы вектора c равны попарной разности соответствующих элементов a и b.

Примеры задач

Задание 1
Вычислим сумму векторов a = {3; 5} и b = {2; 7}.

Решение:
a + b = {3 + 2; 5 + 7} = {5; 12}.

Задание 2
Найдем разность векторов a = {4; 8; -2} и b = {-1; 9; 5}.

Решение:
a – b = {4 – (-1); 8 – 9; -2 – 5} = {5; -1; -7}.