Разложение вектора по базису

35

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно разложить вектор по двум базисным векторам, а также разберем пример решения задачи по этой теме.

Принцип разложения вектора

Для того, чтобы разложить вектор b по базисным векторам a1, …, an, требуется определить такие коэффициенты x1, …, xn, при которых линейная комбинация векторов a1, …, an равняется вектору b, то есть:

x1a1 + … + xnan = b

где x1, …, xn – координаты вектора b в базисе a1, …, an

Пример задачи

Разложим вектор b = {16; 1} по двум базисным векторам m = {2; 1} и n = {1; -3}.

Решение:

1. Векторное уравнение выглядит так:

xm + yn = b

2. Представим его в виде системы линейных уравнений:

Пример системы линейных уравнений

3. Теперь нужно решить систему. Из второго уравнения получаем:
x = 1 + 3y.

Подставляем полученное выражение в первое уравнение:
2 · (1 + 3y) + y = 16
2 + 6y + y = 16
7y = 14
y = 2

Следовательно, x = 1 + 3y = 1 + 2 · 2 = 7.

Ответ: b = 7m + 2n.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии