Линейная зависимость векторов

15

В данной публикации мы рассмотрим, что такое линейная комбинация векторов, какие векторы являются линейно зависимыми и независимыми, а также разберем пример задачи по этой теме.

Определение линейной зависимости векторов

Линейная комбинация векторов a1, …, an – это вектор, заданный выражением x1a1 + … + xnan, где x1, …, xn – коэффициенты.

Представленная комбинация может быть:

  • Тривиальная – все коэффициенты x1, …, xn равняются нулю.
  • Нетривиальная – хотя бы один из коэффициентов x1, …, xn не равен нулю.

Векторы a1, …, an линейно независимы, если только их тривиальная комбинация равна нулевому вектору. То есть:

a1, …, an линейно независимы, если x1a1 + … + xnan = 0, исключительно когда x1 = 0, …, xn = 0.

Векторы a1, …, an линейно зависимы, если есть такая их нетривиальная комбинация, которая равняется нулевому вектору.

Свойства линейно зависимых векторов

  • Линейно зависимые векторы в двух/трехмерном пространстве коллинеарны. Справедливо и обратное утверждение.
  • В трехмерном пространстве три линейно зависимых вектора компланарны.  Утверждение верно и в обратную сторону.

Пример задачи

Проверим, являются ли векторы a = {1; 2} и b = {2; 4} линейно зависимыми.

Решение:

Нам требуется найти значения коэффициентов, при которых линейная комбинация этих векторов равняется нулевому вектору.

xa + yb = 0

Полученное векторное уравнение можно представить в виде системы линейных уравнений:

Пример системы уравнений

Данная система имеет множество решений, при этом x = -2y.

То есть существует ненулевая комбинация коэффициентов x и y, при которых комбинация векторов a и b равняется нулевому вектору. Следовательно, заданные векторы линейно зависимы.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии