Что такое эллипс: определение, основные элементы, уравнение

637

В данной публикации мы рассмотрим определение, основные элементы и уравнения (каноническое и параметрическое) одной из основных геометрических фигур – эллипса.

Определение эллипса

Эллипс – это замкнутая кривая на плоскости, сумма расстояний от каждой точки которой до ее фокусов (F1 и F2) равна постоянному значению.

Элементы эллипса

F1M1 + F2M1 = F1M2 + F2M2 = A1A2 = const

Примечание: частным случаем эллипса является окружность.

Элементы эллипса

Для рисунка выше:

  • F1 и F2 – фокусы эллипса;
  • A1A2 – большая ось эллипса, проходит через его фокусы;
  • B1B2 – малая ось эллипса, перпендикулярна большей оси и проходит через ее центр;
  • A1O = OA2 = a – большая полуось эллипса;
  • B1O = OB2 = b – малая полуось эллипса;
  • точка O – центр эллипса, является пересечением большой и малой осей фигуры;
  • A1, A2, B1, B2 – вершины эллипса, точки пересечения кривой с осями.
  • Радиус эллипса (R) – отрезок, соединяющий центр фигуры с точкой на ее кривой (в формуле ниже φ – это угол между радиусом и большой осью).Радиус эллипса (формула)
  • Диаметр эллипса (d) – отрезок, который проходит через центр фигуры и соединяет две противоположные точки на ее кривой.
  • Фокальное расстояние (c) – половина отрезка, соединяющего фокусы эллипса.
  • Фокальные радиусы эллипса (r1 и r2) – отрезки, которые соединяют фокусы с точкой на кривой.
  • ra – перифокусное расстояние (минимальное расстояние от фокуса до точки на кривой эллипса);
  • rb – апофокусное расстояние (максимальное расстояние от фокуса до точки на эллипсе);
  • Эксцентриситет эллипсa (e) – растяженность фигуры, характеризуется отношением фокального расстояния к большей полуоси.Эксцентриситет эллипсa (формула)
  • Фокальный параметр эллипса (p) – отрезок, который соединяет фокус фигуры и точку на кривой, перпендикулярен ее большей полуоси.Фокальный параметр эллипса (формула)
  • Коэффициент сжатия эллипса (k) – определяется отношением малой полуоси к большой. Также называется эллиптичностью фигуры.Коэффициент сжатия эллипса (формула)
  • Сжатие эллипса (1 – k) – разность между единицей и эллиптичностью.Сжатие эллипса (формула)

Примечание: свойства эллипса представлены в отдельной публикации.

Уравнение эллипса

Каноническое уравнение эллипса

Если центр эллипса (точка O) находится в начале системы координат (декартовой), а большая ось лежит на оси абсцисс, то фигуру можно описать уравнением ниже:

Каноническое уравнение эллипса

Если центр эллипса находится в точке с координатами (x0; y0), уравнение принимает следующий вид:

Каноническое уравнение эллипса

Параметрическое уравнение эллипса

Для параметра α:

Параметрическое уравнение эллипса

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии