В данной публикации мы рассмотрим основные свойства правильного многоугольника касательно его внутренних углов (в т.ч. их суммы), количества диагоналей, центра описанной и вписанной окружностей. Также рассмотрены формулы для нахождения основных величин (площадь и периметр фигуры, радиусы окружностей).
Примечание: определение правильного многоугольника, его признаки, основные элементы и виды мы рассмотрели в отдельной публикации.
Свойства правильного многоугольника
Свойство 1
Внутренние углы в правильном многоугольнике (α) равны между собой и могут быть рассчитаны по формуле:
где n – число сторон фигуры.
Свойство 2
Сумма всех углов правильного n-угольника равняется: 180° · (n-2).
Свойство 3
Количество диагоналей (Dn) правильного n-угольника зависит от количества его сторон (n) и определяется следующим образом:
Свойство 4
В любой правильный многоугольник можно вписать круг и описать окружность около него, причем их центры будут совпадать, в том числе, с центром самого многоугольника.
В качестве примера на рисунке ниже изображен правильный шестиугольник (гексагон) с центром в точке O.
Площадь (S) образованного окружностями кольца вычисляется через длину стороны (a) фигуры по формуле:
Между радиусами вписанной (r) и описанной (R) окружностей существует зависимость:
Свойство 5
Зная длину стороны (a) правильного многоугольника можно рассчитать следующие, относящиеся к нему величины:
1. Площадь (S):
2. Периметр (P):
3. Радиус описанной окружности (R):
4. Радиус вписанной окружности (r):
Свойство 6
Площадь (S) правильного многоугольника можно выразить через радиус описанной/вписанной окружности:
