Векторное произведение векторов

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти векторное произведение двух векторов, приведем геометрическую интерпретацию, алгебраическую формулу и свойства этого действия, а также разберем пример решения задачи.

Геометрическая интерпретация

Векторное произведение двух ненулевых векторов a и b – это вектор c, который обозначается как [a, b] или a x b.

Длина вектора c равна площади параллелограмма, построенного с помощью векторов a и b.

При этом c перпендикулярен плоскости, в которой расположены a и b, и расположен так, чтобы наименьшее вращение от a к b выполнялось против часовой стрелки (с точки зрения конца вектора).

Формула векторного произведения

Произведение векторов a = {a_x; a_y, a_z} и b = {b_x; b_y, b_z} вычисляется с помощью одной из формул ниже:

Свойства векторного произведения

1. Векторное произведение двух ненулевых векторов равняется нулю тогда и только тогда, когда эти векторы являются коллинеарными.

2. Модуль векторного произведения двух векторов равняется площади параллелограмма, образованного этими векторами.

S_парал. = |a x b|

3. Площадь треугольника, образованного двумя векторами, равняется половине их векторного произведения.

S_Δ = ¹/₂ · |a x b|

4. Вектор, являющийся векторным произведением двух других векторов, перпендикулярен им.

c ⟂ a, c ⟂ b.

5. a x b = –b x a

6. (m a) x a = a x (m b) = m (a x b)

7. (a + b) x c = a x c + b x c

Пример задачи

Вычислим векторное произведение a = {2; 4; 5} и b = {9; -3; 1}.

Решение:

Ответ: a x b = {19; 43; -42}.