Умножение вектора на число

В данной публикации мы рассмотрим, каким образом вектор можно умножить на число (геометрическая интерпретация и алгебраическая формула). Также перечислим свойства этого действия и разберем примеры задач.

Геометрическая интерпретация произведения

Если вектор a умножить на число m, то получится вектор b, при этом:

• b || a
• |b| = |m| · |a|
• b ↑↑ a, если m > 0, b ↑↓ a, если m < 0

Таким образом, произведением ненулевого вектора на число является вектор:

• коллинеарный исходному;
• сонаправленный (если число больше нуля) или имеющий противоположное направление (если число меньше нуля);
• Длина равняется длине иходного вектора, умноженной на модуль числа.

Формула умножения вектора на число

Произведение ненулевого вектора на число – это вектор, координаты которого равняются соответствующим координатам исходного вектора, умноженным на заданное число.

Свойства произведения вектора и числа

Для любых произвольных векторов и чисел:

• (m ± n) · a = m · a ± n · a
• m · (a ± b) = m · a ± m · b
• m · (n · a) = (m · n) · a = n · (m · a)
• 1 · a = a
• 0 · a = 0

Примеры задач

Задание 1
Найдем произведение вектора a = {5; 11} и числа 4.

Решение:
4 · a = {4 · 5; 4 · 11} = {20; 44}

Задание 2
Умножим вектор b = {2; -4; 7} на число -6.

Решение:
-6 · b = {(-6) · 2; (-6) · (-4); (-6) · 7} = {-12; 24; -42}.