В данной публикации мы рассмотрим, что такое метод Гаусса, зачем он нужен, и в чем заключается его принцип. Также мы на практическом примере продемонстрируем, как метод можно применить для решения системы линейных уравнений.
Описание метода Гаусса
Метод Гаусса – классический способ последовательного исключения переменных, применяемый для решения системы линейных уравнений. Назван так в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1885).
Но для начала напомним, что СЛАУ может:
- иметь одно единственное решение;
- иметь бесконечное множество решений;
- быть несовместной, т.е. не иметь решений.
Практическая польза
Метод Гаусса – отличный способ решить СЛАУ, которая включает более трех линейных уравнений, а также систем, не являющихся квадратными.
Принцип метода Гаусса
Метод включает следующие этапы:
- прямой – расширенная матрица, соответствующая системе уравнений, путем элементарных преобразований над строками приводится к верхнему треугольному (ступенчатому) виду, т.е. под главной диагональю должны находиться только элементы, равные нулю.
- обратный – в полученной матрице элементы над главной диагональю также обнуляются (нижний треугольный вид).
Пример решения СЛАУ
Давайте решим систему линейных уравнение ниже, воспользовавшись методом Гаусса.
Решение
1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.
2. Теперь наша задача – это обнулить все элементы под главной диагональю. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, что применимы к нашему случаю. Сначала поменяем строки местами, таким образом расположив их первые элементы в порядке возрастания.
3. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую.
4. Прибавим к третьей строке вторую.
5. Отнимем из первой строки вторую, и одновременно с этим действием разделим третью строку на -10.
6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтем третью, умноженную на 7, а ко второй прибавим третью, умноженную на 5.
7. Финальная расширенная матрица выглядит следующим образом:
8. Ей соответствует система уравнений:
Ответ: корни СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.
