Метод Гаусса для решения СЛАУ

505

В данной публикации мы рассмотрим, что такое метод Гаусса, зачем он нужен, и в чем заключается его принцип. Также мы на практическом примере продемонстрируем, как метод можно применить для решения системы линейных уравнений.

Описание метода Гаусса

Метод Гаусса – классический способ последовательного исключения переменных, применяемый для решения системы линейных уравнений. Назван так в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса (1777 – 1885).

Но для начала напомним, что СЛАУ может:

  • иметь одно единственное решение;
  • иметь бесконечное множество решений;
  • быть несовместной, т.е. не иметь решений.

Практическая польза

Метод Гаусса – отличный способ решить СЛАУ, которая включает более трех линейных уравнений, а также систем, не являющихся квадратными.

Принцип метода Гаусса

Метод включает следующие этапы:

  1. прямой – расширенная матрица, соответствующая системе уравнений, путем элементарных преобразований над строками приводится к верхнему треугольному (ступенчатому) виду, т.е. под главной диагональю должны находиться только элементы, равные нулю.
  2. обратный – в полученной матрице элементы над главной диагональю также обнуляются (нижний треугольный вид).

Пример решения СЛАУ

Давайте решим систему линейных уравнение ниже, воспользовавшись методом Гаусса.

Пример системы линейных уравнений

Решение

1. Для начала представим СЛАУ в виде расширенной матрицы.

Пример расширенной матрицы СЛАУ

2. Теперь наша задача – это обнулить все элементы под главной диагональю. Дальнейшие действия зависят от конкретной матрицы, ниже мы опишем те, что применимы к нашему случаю. Сначала поменяем строки местами, таким образом расположив их первые элементы в порядке возрастания.

Пример расширенной матрицы СЛАУ

3. Вычтем из второй строки удвоенную первую, а из третьей – утроенную первую.

Элементарные преобразования над расширенной матрицей

4. Прибавим к третьей строке вторую.

Элементарные преобразования над расширенной матрицей

5. Отнимем из первой строки вторую, и одновременно с этим действием разделим третью строку на -10.

Элементарные преобразования над расширенной матрицей

6. Первый этап завершен. Теперь нам нужно получить нулевые элементы над главной диагональю. Для этого из первой строки вычтем третью, умноженную на 7, а ко второй прибавим третью, умноженную на 5.

Элементарные преобразования над расширенной матрицей

7. Финальная расширенная матрица выглядит следующим образом:

Пример расширенной матрицы СЛАУ

8. Ей соответствует система уравнений:

Пример системы линейных уравнений

Ответ: корни СЛАУ: x = 2, y = 3, z = 1.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии