Теорема о базисном миноре матрицы

468

В данной публикации мы рассмотрим теорему о базисном миноре (формулировка и следствия). Также разберем пример задачи для демонстрации ее применения на практике.

Формулировка теоремы

В произвольной матрице A столбцы/строки, входящие в состав базисного минора M (называются “базисными”), линейно независимы. Каждый столбец/строка матрицы является линейной комбинацией базисных столбцов/строк.

Допустим, дана матрица A размером mxn. Базисным называется ненулевой минор M порядка r, при этом все миноры более старшего порядка (r+1 и выше) равняются нулю или их вовсе нет. Это значит, что r равняется меньшему из чисел m или n.

Из теорему о базисном миноре следует:

  1. Линейно независимые столбцы/строки матрицы, число которых равно рангу данной матрицы, являются базисными.
  2. Ранг любой матрицы равняется максимальному количеству содержащихся в ней линейно независимых строк/столбцов.

Пример задачи

Давайте найдем всем базисные миноры матрицы A, представленной ниже, а также определим ее ранг.

Пример матрицы

Решение:

1. Выполним элементарные преобразования над матрицей, чтобы упростить ее. Для начала разделим третью строку на 2 и переставим ее с первой местами.

Элементарные преобразования матрицы

2. Отнимем из третьей строки первую.

Элементарные преобразования матрицы

3. Получаем матрицу с нулевой строкой, что означает, что все миноры третьего порядка равняются нулю.

Пример матрицы

4. Таким образом, базисными в нашем случае могут быть только ненулевые миноры второго порядка, состоящие из первой и второй строк полученной матрицы.

Пример расчета минора второго порядка матрицы

Пример расчета минора второго порядка матрицы

Пример расчета минора второго порядка матрицы

Пример расчета минора второго порядка матрицы

Пример расчета минора второго порядка матрицы

Пример расчета минора второго порядка матрицы

Ответ:
Все рассчитанные миноры отличны от нуля, значит, все они являются базисными. Ранг матрицы равен двум (rang A = 2), так как все миноры более высокого (третьего) порядка равны нулю.

Подписаться
Уведомить о
guest
0 комментариев
Межтекстовые Отзывы
Посмотреть все комментарии