Экспонента: определение, формула, свойства, график

В данной публикации мы рассмотрим, что такое экспонента, как выглядит ее график, приведем формулу, с помощью которой задается экспоненциальная функция, а также перечислим ее основные свойства.

Определение и формула экспоненты

Экспонента – это показательная функция, формула которой выглядит следующим образом:

f (x) = exp(x) = e ^x

где e – число Эйлера.

Экспоненциальная функция (так часто называют экспоненту) может быть определена:

Через предел (lim):

Через степенной ряд Тейлора:

График экспоненты

Ниже представлен график экспоненциальной функции y = e ^x.

Как мы видим график (синяя линия) является выпуклым, строго возрастающим, т.е. при увеличении x увеличивается значение y.

Асимптотой является ось абсцисс, т.е. график во II четверти координатной плоскости стремится к оси Ox, но никогда не пересечет и не коснется ее.

Пересечение с осью ординат Oy – в точке (0, 1), так как e⁰ = 1.

Касательная (зеленая линия) к экспоненте проходит под углом 45 градусов в точке касания.

Свойства экспоненциальной функции

1. Экспонента определена для всех x, причем функция везде возрастает, и ее значение всегда больше нуля. То есть:
   • область определения: – ∞ < x + ∞;
   • область значений: 0 < y < + ∞.
2. Обратная к экспоненте функция – это натуральный логарифм (ln x).
   • ln e ^x = x;
   • e ^{ln x} = x, где x > 0.
3. Для экспоненты применимы правила операций с показателями, например: e ^{(a + b)} = e ^a ⋅ e ^b.
4. Производная экспоненты:
   • (e ^x)‘ = e ^x.
   • если вместо x – сложная функция u: (e ^u)‘ = e ^u + u‘.
5. Интеграл экспоненты: ∫ e ^x dx = e ^x + C, где C – константа интегрирования.