Решение квадратных неравенств

В данной публикации мы рассмотрим, что такое квадратное неравенство, и как оно решается методом интервалов в зависимости от количества корней. Также разберем практические примеры по этой теме.

Определение квадратного неравенства

Если старшая степень неизвестной переменной (чаще всего это x) равняется двум, то неравенство называется квадратным.

Например:

• x² – 3x + 4 > 0
• 2x² + 7x – 5 < 0
• x² + 12x + 2 ≥ 0
• 3x² – 4 ≤ 0

Решение квадратных неравенств

С двумя корнями

Квадратные уравнения решаются с помощью так называемого метода интервалов, принцип которого заключается в следующем:

1. Все элементы неравенства собираем в левой части, в правой должен остаться только ноль. Помним, что при переносе элемента из одной части в другую его знак меняется на противоположный.

2. Если перед неизвестной переменной во второй степени стоит отрицательный коэффициент, умножаем все элементы неравенства на число -1, изменив знак сравнения на противоположный.

3. Заменив знак сравнения на “равно” решаем полученное квадратное уравнение.

4. Найденные корни отмечаем на числовой оси.

При этом, если знак сравнения строгий (“больше” или “меньше”), то отметкой обычно является незакрашенный внутри кружок, если нестрогий (“больше или равно”, “меньше или равно”) – закрашенный.

5. Рисуем интервалы, и справа-налево присваиваем им знаки “плюс” и “минус” (начинаем с “+”, затем чередуем).

6. Если в неравенстве стоят знаки “>“ или “≥“, нам нужны положительные интервалы, если “<“ или “≤“ – отрицательные.

Пример 1
Решим квадратное неравенство x² + 4x > -3.

Решение:
1. Т.к. правая часть должны быть нулевой, перенесем число -3 в левую, заменив его знак на “плюс”:

x² + 4x + 3 > 0

2. Теперь найдем корни квадратного уравнения x² + 4x + 3 = 0.

Мы подробно рассматривали данный вопрос в отдельной публикации, поэтому здесь отдельно на этом останавливаться не будем.

Итак, корни заданного уравнения: x₁ = -1, x₂ = -3. Отмечаем их на числовой оси (незакрашенные кружки, т.к. неравенство является строгим).

Рисуем интервалы, отметив знаками “плюс” и “минус”.

Нам нужные только положительные области, т.к. в неравенстве стоит знак “больше”.

Таким образом, решение неравенства следующее:

x > -1 и x < -3.

Примечание: если бы в рассматриваемом нами неравенстве стояли другие знаки, область решения была бы следующей:

• знак “<“, тогда -3 < x < -1
• знак “≥”, тогда x ≥ -1 и x ≤ -3
• знак “≤”, тогда -3 ≤ x ≤ -1

С одним корнем

Квадратные уравнения не всегда имеют два корня, иногда он может быть один.

Пример 2
Давайте решим x² – 4x + 4 < 0.

Решение:
Корень у соответствующего квадратного уравнения всего один: x₁ = x₂ = 2, т.е. его значение повторяется дважды.

Отмечаем точку в виде незаполненного кружка на числовой оси и рисуем два исходящих от нее интервала.

Теперь нужно присвоить знаки интервалам, и здесь эта процедура отличается от описанного выше (когда у уравнения два корня): если значение корня в уравнении повторяется четное количество раз, то при смене интервалов знак не меняется. Проставляем их, также, справа-налево, начав с “плюса”.

В нашем случае значение повторяется два раза, т.е. получаем:

Нам нужны только отрицательные интервалы, а их здесь нет. К тому же, неравенство строгое. Следовательно, решений у него нет.

Примечание: если бы этом неравенстве стояли другие знаки, область решения была бы следующей:

• знак “>”, тогда x > 2 и x < 2
• знак “≥”, тогда x ≥ 2 и x ≤ 2, т.е. все действительные числа.
• знак “≤”, единственное решение – это x = 2

Без корней

В некоторых случаях квадратные уравнения могут и вовсе не иметь действительных корней.

В этом случае у соответствующее неравенства, также, не будет действительных решений. Это и будет ответом.

Пример 3
x² + 3x + 5 > 0

Решение:
Уравнение не имеет корней, следовательно, у неравенства нет действительных решений.